MULTIOBJETIVOS.
JUAN
ANTONIO DEL VALLE FLORES
Las personas en lo particular y cuando actúan como responsables de la dirección de organizaciones, regularmente esperan tomar decisiones que cumplan con varios objetivos y tratan de evaluar sus alternativas tomando en cuenta estos diferentes criterios.
No obstante, es un hecho que las técnicas cuantitativas más populares para selección de alternativas se basan en el objetivo de mejorar un aspecto específico, frecuentemente el económico, sin embargo en un afán de adecuar más los modelos de análisis a la realidad se debe contribuir a aumentar el interés por aquellas técnicas que consideran el efecto conjunto de varios objetivos durante el proceso de la toma de decisiones.
El identificar los objetivos relevantes es un análisis importante para un tomador de decisiones, este problema de identificacion se complica cuando existen objetivos que interactuan entre si, por la dificultad si no imposibilidad, de obtener un peso relativo de estos objetivos.
En suma, algunos autores establecen que tomar la mejor decisión implica establecer una secuencia de procedimiento semejante a la siguiente:
1.- Identificar los objetivos a contemplar en una decisión.
2.- Ponderar por su importancia a cada uno de los objetivos.
3.- Identificar a las alternativas.
4.- Evaluar a las alternativas conforme a los objetivos establecidos
5.- Elegir a la alternativa que mejor alcanza a cumplir con todos los objetivos deberá considerarse como la mejor.
6.- Examinar a la mejor decisión a fin de identificar posibles consecuencias futuras adversas.
7.- Los efectos de la decisión final se deberán controlar, tomando otras acciones para prevenir las consecuencias adversas del problema y tener seguridad que las acciones decididas se lleven a cabo.
Es importante hacer notar que la consideración de los efectos negativos de las
decisiones se suelen incorporar dentro de los objetivos, integrandose el concepto más generalista
de multiatributos o multicriterios; los atributos serían entonces todos
aquellos aspectos que se desean observar como consecuencias de una decisión.
Los objetivos a considerar en una decisión, se derivan basicamente de considerar los resultados esperados y los recursos disponibles para llevarla a cabo. Este tema no estará comprendido en estas notas y por lo tanto asumiremos que los objetivos pueden ser establecidos con precisión y que son de suma relevancia para la decisión.
Sin embargo el determinar la relativa importancia de los objetivos, el medir los resultados de las alternativas en terminos de estos atributos y obtener una medida común de efectividad para el conjunto de resultados, conforman la esencia del problema de objetivos multiples que estudiaremos.
1. Independencia entre los Objetivos.
Es conveniente introducir, en forma previa a la descripción de la metodología de multiobjetivos, los conceptos que indican el tipo de relación entre los objetivos.
Independencia Preferencial Mutua.
Un atributo X1 es preferencialmente independiente de otro atributo X2 si las preferencias para valores específicos de resultados de X1 no dependen de los valores que tome X2.
Es de particular importancia considerar la independencia preferencial entre los subconjuntos de atributos de X = (X1 ,.....,Xn), ya que la independencia preferencial mutua se logra cuando la preferencia entre dos cualesquiera de sus atributos es independiente del nivel al que hallan sido fijados el resto de los atributos. En general un conjunto de atributos X es considerado mutuamente independiente en forma preferencial si cualquier subconjunto X es preferencialmente independiente de su complemento X'.
Considerar dos atributos, sea X1 el tiempo para terminar la construcción de una obra y X2 su costo. Si se prefiere un tiempo de terminación de 10 meses a uno de 20 meses, suponiendo que el costo en ambos casos sea 100 millones de pesos, y si además se prefiere una terminación en 10 meses a una de 20 meses, si el costo en ambos casos es de 200 millones de pesos, entonces X1 es preferencialmente independiente de X2. Si por otra parte X2 fuera también preferencialmente independiente de X1, entonces se dice que entre estos dos atributos existe independencia preferencial mutua.
Independencia Mutua de Utilidades.
Un atributo X1 es considerado utilitariamente independiente de X2 si las preferencias para inciertos escenarios que implican diferentes niveles de X1 son independientes de los niveles a que se fije X2. Si el equivalente bajo certeza de una loteria con premios del mejor y el peor valor de X1 con iguales posibilidades, es calculado para algún nivel fijo de X2 y se encuentra que este equivalente es el mismo para cualquier otro nivel de X2,entonces X1 es utilitariamente independiente de X2. Si X2 fuera también utilitariamente independiente de X1 entonces existiría independencia mutua de utilidades.
En general se considera que en un conjunto de atributos X existe independencia utilitaria mutua si existe independencia utilitaria entre un subconjunto X cualquiera y su complemento X'.
Este concepto tiene un significado análogo a la independencia preferencial, solo que en un contexto de riesgo; para el ejemplo planteado antes, si se requiere demostrar que el tiempo de terminación de la obra sea utilitariamente independiente de su costo, entonces se necesita asegurar que el equivalente bajo certeza para una loteria con 50% de posibilidades tanto para X11=10meses como para X12=20meses, no depende si el costo sea 100 ó 200 millones de pesos.
2 Funciones de Utilidad Multilineales.
Idealmente se quisiera generalizar la teoría de la utilidad esperada, al problema de multiatributos, sin embargo habrá que estar conciente que en la práctica esto no será factible y que además no será fácil para todos los casos modelar una función de utilidad para multiatributos de la forma U(X1,..,Xn).
No obstante, en muchas circunstancias de toma de decisiones, ciertas condiciones podrían ser satisfechas para hacer factible la descomposición de la función de utilidad conjunta,en una función f de funciones U de utilidad de un solo atributo:
U(X1,X2 , ........,Xn) = f [U1 (X1), U2 (X2),......., Un (Xn)]
Una condición suficiente a satisfacer para considerar por separado a las funciones de utilidad de cada atributo dentro de una función de utilidad conjunta general, es la independencia mutua de utilidades.
Es importante que se cumplan esta condición, ya que se posibilita integrar una función de utilidad conjunta a través de cada una de las funciones de utilidad individuales correspondendientes a los atributos que se consideran en un problema.
Esta situación es la base para llegar a aceptar que las función de utilidad de multiples objetivos es susceptible de analizarse mediante una forma lineal de la función conjunta.
2.1 Descomposición de las Funciones de Utilidad.
Se puede demostrar que para un conjunto X=(X1,...,Xn) que el hecho de que X1 sea utilitariamente independiente y que el par (X1,Xi) sea preferencialmente independiente para i=2,...,n , para n>=3, es equivalente al hecho de que el conjunto X de atributos sea utilitariamente independiente en forma mutua.
Esta condición simplifica los calculos, ya que solo se requiere enfocar uno de los atributos y mostrar que es utilitariamente independiente de su complemento X1' y posteriormente mostrar que los n-1 pares (X1,Xi) son preferencialmente independientes de sus complementos.
En esta forma existe la necesidad de efectuar sólo n pruebas, casi todas de independencia preferencial, de otra manera serían necesarias 2n-2 de independencia utilitaria que serían necesarias si se siguen los principios primarios.
La independencia mutua de utilidades permite suponer que descomposición de la función es de la forma multiplicativa y que todo lo que se requiere es calcular las constantes de escala ki:
u(X1,....,Xn)=p14[1+Kkiui(Xi)]-1/K
Si la suma de las ki suman 1, entonces la descomposición cae dentro de la forma aditiva:
U(X1,......,Xn) = Si=1n ki U(Xi).
Es conveniente probar anticipadamente la aditividad debido a que el conocimiento de forma aditiva puede ayudar a la tarea del calculo en el momento que n-1 constantes escalares necesitan ser estimadas. Para la descomposición aditiva será apropiado que la siguiente condición de separabilidad de independencia aditiva se cumpla.
2.2 Independencia Aditiva.
La independencia aditiva ocurre si las preferencias en loterias sobre X dependen sólo de las distribuciones de probabilidad marginal de las x y no sobre la distribución de probabilidad conjunta de X.
No obstante esta marginalización es a veces dificil de observar en la práctica. Un conjunto de condiciones necesarias y suficientes para indicarla existencia de una forma aditiva pueden ser las siguientes:
1) X es independiente preferencialmente en forma mutua.
2) Seleccionando dos atributos cualquiera X1
y X2, con el mejor y peor resultado de ellos, probar que existe
indiferencia de preferencias entre las opciones A y B:
Con todos los otros n-2 atributos conservandose constantes. Si las opciones A y B son igualmente preferibles, entonces la independencia aditiva se cumple.
Nótese que la forma aditiva requiere probar la indiferencia para todos los diferentes pares de atributos posibles.
3 Un Método para el Cálculo de las Constantes.
El cálculo de las constantes de escala es relativamente fácil en principio.
Considerar la opción Z siguiente:
y encontrar que el valor de p para el cual el equivalente bajo certeza de Z es igual al resultado (X1*, X2*,....,Xn*) con seguridad. Cuando se cuantifica el valor esperado de la función Z:
U(Z) = p U(X1*,......Xn*) + (1-p) U(X1°,...,Xn°) = p
o cual es equivalente a (X1°,X2°,..,Xi*,..,Xn°)
y por lo tanto a ki.
Esos cálculos pueden ser repetidos para las otras ki que sean necesarias.
La regla básica para el cálculo de las constantes se basa en el hecho de que
la utilidad esperada , según Newman y Morgenstern, es convertida a una transformación lineal.
Así si una función de utilidad es calculada como U(x),
puede ser reescalada como U(x) sin afectar la utilidad esperada teorica,
puesto que U = a + b U(X), lo cual se conoce como funciones estrategicamente equivalentes.
4. Procedimiento para una Función de Utilidad de N Objetivos.
Para observar el procedimiento para la descomposición de una función de utilidad conjunta para n objetivos, se mostrará un ejemplo. Suponer que se consideran sitios alternativos para ubicar un nuevo aeropuerto para la ciudad y son 4 los atributos identificados como importantes:
X1 costo
X2 ruido sobre los residentes aledaños
X3 acceso desde el centro de la ciudad
X4 capacidad del aeropuerto
Las preferencias sobre los resultados se efectuarán a través de una función de U(X1,X2,X3,X4) y con objeto simplificar el probarla separabilidad de esta función de utilidad conjunta, se utilizará el teorema para la condición de mutua independencia de utilidad.
Antes de todo se deberá enfocar la independencia de utilidad de un solo
objetivo, seleccionado arbitrariamente, sea este X1; si el
equivalente bajo certeza de la loteria:
es independiente de algún nivel fijo (X2,X3,X4), entonces podemos decir que X1 es independiente utilitariamente (i.u.).Se debe probar también la independencia preferencial de todos los pares (X1,Xi).
Así para (X1,X2) si el máximo que podriamos pagar por una reducción unitaria de ruido es independiente de algun nivel fijo de (X3,X4), entonces (X1,X2) es preferencialmente independiente. En otras palabras, la tasa de negociación de X1 por X2 es independiente de los otros atributos. En esta forma si (X1,X3) es independiente preferencialmente y (X1,X4) es también independiente preferencialmente, entonces las condiciones mínimas para independencia utilitaria mutua de (X1,X2,X3,X4). Han sido satisfechas. Ahora se sabe que U(X1,X2,X3,X4) puede ser separada en una forma multiplicativa o aditiva.
Con objeto de probar si se cumple la independencia aditiva, se deberán tomar
un par de atributos, por ejemplo X1 y X2, entonces para X3
y X4 fijos a un nivel, probar la preferencia entre las loterias siguientes:
si ellas son igualmente preferidas, entonces el conjunto de atributos pueden ser descompuestos como U(X1,X2,X3,X4)=Si=14 kiui(Xi) y entonces S ki=1 ; esto significa que solo k1, k2, k3 necesitan ser calculadas.
En el caso que la independencia aditiva no se cumpla, entonces la forma multiplicativa:
requiere que todas las ki
sean calculadas; estos valores pueden ser encontrados exactamente, estimando
que valores de pi hacen que el equivalente bajo certeza para
igual a la certeza de Xi a su mejor nivel y todos los otros a su peor. Con los escalamientos usuales
U(X10,X20,X30,X40)= 0 ;U(X1*,X2*,X3*,X4*)= 1
entonces pi es igual a ki.
Suponga que las Ui(Xi) han sido obtenidas de las gráficas que contienen las funciones de utilidad para cada atributo:
así del escalamiento:
esto es:
En general resolver la ecuación para K es el aspecto matemático más difícil al diseñar la forma multiplicativa, siendo usual utilizar un procedimiento iterativo; se puede llegar a mostrar que si S ki > 1 entonces la solución existe con -1 < K < 0 y si S ki < 1 entonces la solución para K debe ser > 0; además será la única solución para K en cada caso, siendo apropiado un procedimiento iterativo .
En el ejemplo la ecuación puede ser encontrada sustituyendo algún valor razonable en el lado derecho de la ecuación, calculando luego el lado izquierdo, sustituyendo esto en el lado derecho para un nuevo valor a la izquierda y repitiendo hasta que la diferencia sea lo suficientemente pequeña. Un punto a recordar en la práctica es que K=0 siempre será una solución, siendo claro que el procedimiento converge a K=0, significando que el primer valor supuesto no debe ser lejano a cero.
En nuestro ejemplo, supongamos que K=1, recalculando K da un valor más pequeño; al suponer K=1.2 resulta K=1.11 el cual es todavía menor a 1.2, supongamos K=1.5 y encontramos K=1.49 que es bastante exacta para los propósitos; entonces la función de utilidad es descompuesta como :
Finalmente es conveniente recordar que los resultados de probar la función multiobjetivo también ayudan a clarificar las ideas del tomador de decisiones, pudiendo éste cambiar algunos de los supuestos preliminares a la luz de los resultados parciales del procedimiento.
Evaluación de Alternativas.
Supongamos que se tienen las alternativas de ubicar el aeropuerto de la Ciudad de México en 1) el sitio actual, 2) Texcoco y 3) Tizayuca. Las medidas de cumplimiento se dan en la siguiente tabla:
|
Alternativa |
X1*1 |
X2*2 |
X3*3 |
X4*4 |
|
Actual |
u(98) = 1 |
u(125) = 0 |
U(25) = 1 |
u(1250) = 0 |
|
Texcoco |
u(169) = 0 |
u(119) = 0.8 |
u(35) = 0.75 |
u(4600) = 0.5 |
|
Tizayuca |
u(127) = 0.6 |
u(97) = 1 |
u(70) = 0 |
u(6800) = 1 |
*1.- Miles de Millones de pesos; *2.- Decibelius; *3.- Km; *4.- Hectáreas
A continuación obtendremos la medida de cumplimiento de cada alternativa, sustituyendo los valores en la función multilineal obtenida:
Alternativa 1.
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) = [1+0.45U1(98)][1+0.3U2(125)][1+0.15U3(25)][1+0.15U4(1250)]
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) = [1+0.45(1)][1+0.3(0)][1+0.15(1)][1+0.15(0)] = 1.45 + 1 + 1.15 + 1 =
U(X1,X2,X3,X4)
= 4.6/1.5
= 3.07
Alternativa 2.
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) = [1+0.45U1(169)][1+0.3U2(119)][1+0.15U3(35)][1+0.15U4(4600)]
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) =
[1+0.45(0)][1+0.3(0.8)][1+0.15(0.75)][1+0.15(0.5)] = 1 + 1.24 + 1.1125 + 0.075
=
U(X1,X2,X3,X4)
= 3.4275/1.5
= 2.285
Alternativa 3.
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) = [1+0.45U1(127)][1+0.3U2(97)][1+0.15U3(70)][1+0.15U4(6800)]
(1.5) U(X1,X2,X3,X4) =
[1+0.45(0.6)][1+0.3(1)][1+0.15(0)][1+0.15(1)] = 1.617 + 1.3 + 1 + 1.15 =
U(X1,X2,X3,X4)
= 5.067/1.5
= 3.378
La
mejor alternativa es la 3, Tizayuca,
Problemas Propuestos
Problema 1.
Rafael Gómez es un activista pro-defensa de la ecología. Sus preferencias
respecto a la preservación de especies animales y forestales en un parque
nacional del estado de Colima son las siguientes:
a)Es probable que un comité decisor apruebe un Plan de Tratamiento a base de pesticidas (PTP) que permitiría que sobrevivieran 12 especies forestales en el parque, pero que aniquilaría a todas las especies animales. Ante esta situación, Rafael no sabe si presionar al comité para que apruebe el Plan Ecológico Balanceado (PEB), (conforme al cual se preservarían 50 especies animales y 12 forestales), ya que existe un 30% de probabilidad de que sí lo apruebe, pero también un 70% de probabilidad de que lo rechace, en cuyo caso el parque se explotaría como yacimiento de minerales y no sobrevivirían especies forestales ni animales. Exprese lo anterior como una lotería para la que exista indiferencia.
b)Asigne en forma consistente valores para u(PTP), u(PEB) y u(explotación de yacimiento).
c) Según Rafael, "el Tratamiento a Base de Pesticidas es tan malo como tener 20 especies animales y ninguna especie forestal". ¿ Cuánto vale u(20 especies animales, 0 especies forestales) según la escala que usted acaba de definir ?, ¿Cuánto vale u(50,0) ?
d) Haciendo las suposiciones usuales (independencia de preferencia y de utilidades), calcule y dibuje u(0, especies forestales) y u(especies animales, 12)
e) Indique usted que preferiría Rafael: (20 especies animales, 4 especies forestales)
o la lotería: