JUAN ANTONIO DEL VALLE FLORES
Todos los conceptos antes analizados, contribuyen a estructurar conceptualmente las medidas de efectividad económica de los proyectos. Estas medidas de efectividad económica, constituyen indicadores de tipo cuantitativo para expresar la bondad económica de los proyectos de inversión, significando con ello que tales indicadores son útiles tanto para comparar proyectos alternativos de la misma naturaleza, o bien, alternativas técnicas o financieras de una misma idea de inversión.
Las medidas de efectividad económica, se pueden dividir en tres tipos:
Valor presente.
Valor anual.
Valor futuro.
Estos tres tipos de modelos de efectividad económica son consistentes en la jerarqía económica que asignen a un conjunto de proyectos de inversión, sin embargo la combinación de sus aplicaciones aporta información adicionalsobre las ventajas y desventajas económicas de un proyecto determinado.
3.1 METODO DEL VALOR PRESENTE.
Como se explicó, consiste en obtener un valor equivalente de los flujos de cada alternativa en el año cero.
El valor presente equivalente de todos los flujos de caja de la alternativa j es:
VPj(i)= S Ajt (P/F,i%,t)........... (1.a)
O de otra forma:
VPj(i)= S Ajt /(1+i)t (1.b)
Donde:
VPj(i)= Valor presente de la alternativa j usando una TMAR de 1% .
n= Períodos considerados en el horizonte de planeación.
Ajt= Componente del flujo de caja para la alternativa j en el periodo t.
i= TMAR.
Al usar este método, la alternativa con el mayor valor presente será la recomendada.
3.2 METODO DEL COSTO ANUAL UNIFORME EQUIVALENTE (CAUE).
El CAUE de la alternativa j con una tasa mínima atractiva de rendimiento i, se calcula como sigue:
CAUEj (i)= S Ajt (P/F,i%,t) (A/P,i%,n)........ (2.a)
CAUEj (i)= VPj (i) (A/P,i%,n)......................... (2.b)
Donde:
CAUEj (i)= Es el costo anual uniforme equivalente de la alternativa j a una tasa i.
Con este método la alternativa que tiene el mayor valor anual uniforme durante el horizonte de planeación, es la recomendada.
6.3.3 METODO DEL VALOR FUTURO.
El equivalente futuro de todos los flujos de caja de la alternativa j con una TMAR de i% en un horizonte de planeación de n períodos es:
VFj (i)= S Ajt (1+i)n-t ....................................(3.a)
Es decir:
VFj (i)= VPj (i) (F/P,1%,n) .................................(3.b)
Este método es equivalente al del valor presente y al CAUE. La alternativa con el mayor valor futuro es la preferida.
Ejemplo 6.3.4.1
Determinar cual es la alternativa más redituable del conjunto mostrado en la tabla. Considere una TMAR igual al 100% anual, por los siguientes métodos:
a). Valor presente.
b). CAUE.
c). Valor futuro.
| año | A1t | A2t | A3t |
| 0 | -2 | -5 | -8 |
| 1 | -1 | 4 | 8 |
| 2 | 8 | 10 | 12 |
| 3 | 8 | 10 | 12 |
| 4 | 8 | 10 | 12 |
FLUJO DE CAJA PARA CADA ALTERNATIVA EN MILLONES DE PESOS.
Solución:
a) Valor presente:
VP1(100%)= -2-1/(1+1)+8/(1+1)2+8/(1+1)3+8/(1+1)4 = 1.000
VP2(100%)= -5+4/(1+1)+10/(1+1)2+10/(1+1)3+10/(1+1)4 = 1.375
VP3(100%)= -8+8/(1+1)+12/(1+1)2+12/(1+1)3+12/(1+1)4 = 1.250
Dado que la alternativa 2 tiene un valor presente mayor, este método recomienda invertir en la alternativa 2.
b) CAUE:
CAUEj (100%)= VPj (100%) (A/P,100%,n)
CAUE1 (100%)= 1(A/P,100%,4)= 1(1.0667)=1.0667
CAUE2 (100%)= 1.375(1.0667)= 1.4667
CAUE3 (100%)= 1.250(1.0667)= 1.3333
Como la alternativa 2 tiene un CAUE mayor, se recomienda invertir en ella.
c) Valor futuro:
VFj (100%)= S Ajt (1+i)4-t
VF1 (100%)= -2(2)4-1(2)3+8(2)2+8(2)+8= 16.0
VF2 (100%)= -5(2)4+4(2)3+10(2)2+10(2)+10= 22.0
VF3 (100%)= -8(2)4+8(2)3+12(2)2+12(2)+12= 20.0
O también se puede calcurar a partir del valor presente:
VFj (100%)= VPj(100%)(F/P,100%,4)= VPj(100%)(16)
VF1 (100%)= 1.000 (16)= 16.0
VP2 (100%)= 1.375 (16)= 22.0
VP3 (100%)= 1.250 (16)= 20.0
El método del valor futuro da un mayor valor a la alternativa No. 2 por lo que ésta es la recomendada.
Observaciones
Como se puede ver estos métodos son equivalentes y todos ellos dan el mismo resultado, es decir, todos recomiendan invertir en la alternativa No. 2.
6.3.4 METODO DEL PERIODO DE REEMBOLSO.
Este método consiste en determinar el tiempo en el que se recupera la inversión inicial a una tasa de interés del 0% .
Sean:
II = Inversión inicial.
Rjt= Ingresos recibidos por la alternativa j en el tiempo t.
Si además de la inversión inicial no existe otro flujo de caja negativo, entonces el menor valor de m que satisface la siguiente relación:
S Rjt ³ II
Define el período de reembolso para la alternativa j. La alternativa que tiene el menor período de reembolso es la recomendada por este método.
Ejemplo II.4.2
Para los datos del ejemplo II.4.1 obtenga los períodos de retorno de cada alternativa.
Solución:
Alternativa 1:
Como la alternativa 1 tiene flujos negativos en los años cero y uno, podemos considerar que la inversión inicial se realiza en el año cero y es igual a la suma de los flujos de ambos años. Por esto supondremos un flujo de -3 en el año cero y de 0 en el año uno, es decir, II=3.
Así si m=2
S R1t = 0+8 > II
Por lo tanto el período de reembolso es de 2 años.
Alternativa 2:
II= 5 millones
si m= 1
S R2t = 4 < II
si m= 2
S R2t = 4+10= 14 > II
Por lo tanto el período de reembolso es de 2 años.
Alternativa 3:
II= 8 millones.
si m= 1
R3t = 8 = II
Por lo tanto el período de reembolso es de 1 año.
Observaciones:
Como el período de reembolso de la alternativa 3 es de un año, es decir, es el menor, según este método, es preferible invertir en la alternativa 3.
Como se puede observar, la recomendación de este método, es diferente a la del valor presente, el CAUE y el valor futuro. esto se debe a que el método del período de reembolso manifiesta sólo algunas condiciones financieras al no considerar el valor del dinero en el tiempo.
3.5 METODO DE LA TASA INTERNA DE RETORNO.
La tasa interna de retorno (TIR), se define como la tasa de interés que hace que el valor futuro (o presente anual) equivalente de los flujos de caja sea igual a cero.
La tasa interna de retorno de la alternativa j es tal, que satisface la siguiente ecuación:
0 = S Ajt (1+i*j)n-t (4)
donde:
Ajt = es el flujo de efectivo de la alternativa j en el período t.
i*j = es la tasa interna de retorno de la alternativa j.
t = período de tiempo.
n = número de períodos en el horizonte de planeación.
Sea X=(1+i*j) y sustituyendo en la ecuación 4
0 = S Ajt Xn-t
Desarrollando la ecuación tenemos:
0 = Aj0 Xn+Aj1 Xn-1+Aj2 Xn-2+....+Ajn-1 X = Ajn
Ecuación que constituye un polinomio de grado n, que puede tener n raíces distintas, sin embargo, el número de raíces reales positivas de un pilinomio de grado n con coeficientes reales, es menor o igual al número de cambios de signo en los coeficientes Aj0, Aj1,....Ajn. Puesto que la mayor parte de los flujos de caja empiezan con un flujo negativo, seguidos de flujos positivos, generalmente se presenta un solo cambio de signo y por consiguiente una sola raíz.
La TIR estrictamente no nos indica que utilidad nos produce una alternativa dada, sino la tasa de retorno de la inversión inicial y de las reinversiones de los ingresos que esta generando el proyecto.
Existen diversos métodos para obtener las raíces de un polinomio de enésimo grado, sin embargo, exisre un procedimiento práctico muy popular para obtener la TIR, el cual consiste en dibujar en los ejes cartesianos los valores futuros obtenidos (eje vertical) y las tasas de interés utilizadas (eje horizontal) en forma correspondiente, al unir los puntos con una línea se observará el punto donde ésta corta al eje horizontal, cumpliéndose entonces la condición del método.
Es un hecho que no siempre es posible la aplicación del método de la TIR. ya que frecuentemente nos encontramos con raíces múltiples, en tales casos las alternativas son prescindir de este indicador económico o intentar algunos otros métodos auxiliares, con interpretaciones especiales fuera de los alcances de estas notas.
Ejemplo 6.3.4.3
Si invertimos 2,000 pesos ahora y se nos prometen 5,000 en un año ¿ Cuál es el TIR de la inversión ?.
Solución:
0 = S A1t (1+i*j)n-t
0 = S A1t (1+i*j)1-t
Sabemos que A10= -2,000 y A11= 5,000 entonces:
0 = -2,000(1+i*j)1+ 5,000(1+i*j)0
0 = -2,000(1+i*j) + 5,000
Despejando i*j :
2,000(1+i*j) = 5,000
Entonces la tasa interna de retorno de la inversión es del 150% anual. Esto significa que se debe invertir en esta alternativa si no tenemos otra con una tasa mayor.
3.6 METODO DE LA RELACION BENEFICIO COSTO(B/C)
Determina la relación existente entre el valor presente de los beneficios y el valor presente de los costos. En una inversión se espera que los beneficios superen a los costos, por lo que es deseable una relación B/C mayor que la unidad.
Si consideramos los flujos de caja negativos como costos y los flujos positivos como beneficios, entonces la relación B/C se define como:
S Bjt (1+i)-t
B/Cj (i%) = S Cjt (1+i)-t
Donde:
Bjt = es el flujo positivo de la alternativa j en el tiempo t.
Cjt = es el flujo de caja negativo en el tiempo t.
Ejemplo II.4.4
Considérese el mismo caso del ejemplo II.4.3 dende se invierten 2,000 pesos ahora con la promesa de recibir 5,000 pesos en un año. Calcule la relación B/C para una tasa del 100% .
5,000(1+i)-1 2,500
B/C1(100%)= 1.25
2,000(1+1)0 2,000
Como la relación B/C es mayor que uno, se concluye que la alternativa es económicamente deseable, es decir, se tienen mayores beneficios que costos, cuando se utiliza la tasa mínima atractiva de retorno.